Arte y Matemáticas

Desde hace siglos, el hombre se ha maravillado de la pulcritud y la perfección de los mosaicos árabes; sus figuras armoniosas, sus vibrantes colores y sobre todo, la manera en que exudan una matemática visualmente hipnótica por su impactante belleza. Sin embargo, la historia detrás de tales mosaicos es bastante esotérica; debido a que la religión musulmana prohibe terminantemente la representación de seres vivos (humanos, vegetales o animales) los artistas musulmanes no tuvieron otra opción que enfocarse en el desarrollo de formas geométricas, en este caso, los famosos mosaicos.

Sin embargo, los mosaicos son mucho más que sencillos rompecabezas gigantes; son el paradigma de una ciencia medieval extremadamente avanzada y sofisticada. Tal ciencia fue llamada “geometría cuasicristalina decagonal avanzada” por científicos gringos en los 70s. La simetría casi perfecta de los mosaicos demuestra que los artesanos musulmanes dominaban la regla y el compás, herramientas indispensables para poder crear los intricados patrones llamados “girihs”. Estos girihs están compuestos por cinco polígonos continuos: un decágono, un pentágono, un hexágono, un diamante y una figura “corbata”. A pesar de su complejidad, era relativamente fácil reproducir los diseños a menor escala, lo intrigante es el proceso de escala que utilizaban los artesanos musulmanes para proyectarlos a gran escala sin distorsionarlos exageradamente.Los mosaicos árabes son una perfecta fusión entre el arte y la matemática….

Mosaico de azulejos en La Alhambra. Nótese lo impecable del ensamblaje, la simetría y el diseño...

Mosaico andaluz donde se pueden apreciar claramente la estrella, la "corbata" y el hectágono.

Este video es una recopilación extensa y bastante educativa sobre el origen, la producción y la teoría matemática de los varios tipos de mosaicos arabes. Enjoy!

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Son pocos los pintores que realmente trabajan la geometría de la manera más pura posible. Dos ejemplos perfecto de lo que es un “artista geometra” son Piet Mondrian y Mark Rothko. Ambos trabajan el cuadrado en su esencia más abstracta, el primero con una técnica pulcra y casi gráfica y el segundo con una gama de colores exóticos y un acabado borroso pero atrayente. Sin embargo, son considerados artistas de la geometría.

PIET MONDRIAN:

Nació en 1872 en Amersfoot, Holanda y murió en Nueva York en 1944. Comenzó pintando cuadros pastoriles al estilo de la Escuela de La Haya, pero al llegar a Paris a comienzos del siglo XX fue influenciado por el cubismo y su obra tomó la forma que conocemos hoy. Susu obras han sido de gran influencia en las áreas del arte, el diseño, la decoración y la arquitectura. Sus obras contiene gran contenido filosófico, basandose en la teoría teosofica, donde la verdad absoluta se alcanza con medio empíricos. Según Mondrian “sólo cuando estemos en lo real absoluto el arte no será ya más necesario”. Sus composiciones de cuadrados son representaciones la estructura primordial universal, la gran “retícula cósmica”. los colores primarios usados son los tonos elementales del Universo, mientras que el blanco y el negro es son “no-colores”; siendo el blanco la suma de todos y el negro la ausencia de estos mismos. Su obra anhelaba indagar dentro de La Verdad de una manera más profunda.

MARK ROTHKO

Nació en Letonia en 1903 y murió en EE.UU en 1970. Es considerado un expresionista abstracto por excelencia. Curiosamente, estudió derecho, economica y teologia en Yale antes de volverse artista, por lo cual muchas de sus pinturas tiene cargas políticas y religiosas. Al igual que Modrian, su educación formal fue basada en pinturas clasicas y paiajes, pero al mudarse a Nueva york y ser influenciado por el Vanguardismo su estilo cambió radicalmente. En las obras de Rothko los verdaderos protagonistas no son las figuras geométricas sino los colores; rojos, marrones, azules, violetas y negros. Su estado de ánimo eran representado crómaticamente; los colores vivos eran alegra y calidez, mientras que los oscuros eran tristeza y frialdad. Debido a su alcoholismo, Rothko se sumió en una depresión incurable que lo llevó al suicidio, lo cual explica porque en sus últimas obras predomina el negro profundo.

Desde los años 70, los “Crop Circles” o “Círculos de Plantaciones” han causado furor entre las comunidades esótericas; algunos creen que son mensajes divinos o de extraterrestres, mientras que otros creen que son artimañas para engañar a los incautos. Sin embargo, no se puede negar que la armonía, proporción y simetría usadas para crear estos símbolos no pueden ser creados por tecnología humana. Además de los intricados diseños, muchos de estos crop circles contienen mensajes que sólo pueden ser interpretados matemáticamente, lo cual todavia es inexlicable.

Estos dibujos enormes han aparecido en cosechas por todo el mundo, en paises como EE.UU, Alemania, India, Italia, Mexico, Nueva Zelanda e Inglaterra. A pesar de que se han reportado autores humanos de estos dibujos, el modus operandi de estas personas no arroja el acabado pulido y perfecto de los crop circles auténticos. Los estafadores usan cuerdas y tablas para pisar y partir los tallos de las cosechas, mientras que los tallos en los crop circles auténticos solamente fueron doblados sin dañar la planta. Es más, se ha comprobado que estos tallos no sólo fueron dobaldos sin daño alguno, sino que tambieén sufrieron cambios a nivel molecular, tecnología desconocida hasta ahora en la tierra….

Las imponentes Líneas de Nazca (o geoglifos) fueron descubiertas en el árido desierto peruano en 1927 por el científico Paul Kosok. Al principio creyó que eran líneas talladas en la tierra de manera azarosa, pero al cabo de pocos dias descubrió que cada línea formaba una gigantesca forma sobre el suelo desértico. Al investigar más detalladamente, Kosok se dió cuenta de que estas misteriosas líneas eran un enorme calendarió astronómico de la cultura Nazca hace unos mil años aproximadamente.

Las líneas de Nazca componen formas animales y geométricas. Son 30 figuras en total, donde se destacan El Mono, El Colibrí, El Ave Gigante, la Araña, El Perro y la Iguana. Las figuras geométricas incluyen enormes espirales, cuadrados, zigzags, círculos, rectángulos, cuadrículas y triángulos. El tamaño varía radicalmente entre figura y figura; hay dibujos de 300 y 150 metros de área hasta pequeñas espirales de tan sólo 3 metros. Pero no sólo el tamaño de cada geoglifo es impresionante, sino que la distancia entre figura y figura (unos 20 km aproximadamente) tambien es causa de admiración, ¿cómo podían hacer dibujos tan grandes y tan distantes sin perder la orientación, la simetría o la proporción?.  Según los científicos que estudiaron estos geoglifos, los constructores debían tener vastos conocimientos de la Escala, Proporción y Pensamiento Abstracto

Durante décadas, estos gigantescos geoglifos han sido uno de los grandes enigmas de la humanidad. Esto es debido a su perfecta simetría y proporción a pesar de su gran tamaño, además de que aparentemente fueron construidas para ser vistas en todo su esplendor desde arriba, a unos 1500 metros de altura. Pero en esa época no había ningún aparato volador, entonces ¿quiénes podían ver estos dibujos desde el cielo? Varias teorías sugieren que las líneas eran señalizaciones de pistas de aterrizaje para visitantes extraterrestres, que son sugeridas por los misteriosos dibujos de un “astronauta” y de “naves” que se encuentran entre las figuras.

El uso de la geometría al servicio del arte ha sido parte de rituales religiosos dentro de muchas culturas antiguas. Una de las muchas manifestaciones de la “Geometría Religiosa” son las mandalas; extensas y complejas ilustraciones circulares cuyo propósito es representar al hombre, al mundo y al cosmos como un “todo absoluto” fluctuante. Las mandalas son originarias de la India, donde son usadas como herramientas de enseñanza espiritual por monjes hinduístas y budistas. El círculo representa el ciclo vital, el cosmos que lo abarca todo y la unión entre el cuerpo y el alma. La mandala también es considerada como un espacio sagrado; un lugar de meditación donde se puede alcanzar el máximo nivel de subconsciente para poder fusionarse con el cosmos absoluto.

Las formas geométricas más representativas de las mandalas son el círculo, que representa el cosmos absoluto, el cuadrado, que representa la unión entre lo divino y lo terrenal y el tríangulo que representa la unión entre la naturaleza, lo divino y el cosmos. La estructura básica de la mandala es una figura central (generalmente es Buda o alguna divinidad cósmica) rodeada de deidades menores, elementos de la naturaleza o símbolos budistas. Los colores también tienen un significado, usando primordialmente los colores primarios, ya que son insignias de los cuatro elementos terrenales.  De igual manera, cada forma y figura en la mandala tiene un significado simbólico. Las mandalas son una alegoría al “Universo Perfecto”.

Mandala tibetano de "Las Cinco Divinidades", donde se puede ver a Buda en el Foco de la mandala rodeado por cuatro dioses que a su vez están rodeados por mutliples divinidades menores. Este diseño es el más común en las varias ramificaciones del budismo.

Mandala de arena para una ceremonia Hindú. Esta mandala representa de una manera más abstracta la unión de las cosas terrenales con el Universo.

Mandala budista de arena. Una versión más elaborada de "Las Cinco Deidades". La arena de colores simboliza la "impermanencia", un concepto fundamental en las enseñanzas budistas; la única verdad en el mundo en que nada es permanente. Los monjes budistas pueden demorarse meses elaborando los intricados diseños de las mandalas y en un acto simbólico de "impermanencia" estas son borradas de un manotazo. La arena sobrante es vertida en un rio, como acto de "reunificación" con el cosmos.

Monjes budistas creano una mandala. Con un instrumento metálico raspan los minerales teñidos de varios colores y los vierten sobre el dibujo preestablecido de la mandala.

Hace un par de posts hablé sobre la estrecha relación entre la geometría bidimensional y el arte arcaíco. Como mencioné anteriormente, el “arte geométrico” siempre ha sido un factor regular en la cronología del arte, y en este caso en particualr, la geometría fue el detonante de una de las corrientes más influyentes; el cubismo. Sin embargo, las formas tridimensionales han estado perpetuamente presentes en una discplina del arte igualmente tridimensional; la escultura. Este blog pretende presentar algunos de los escultores que han trabajado de manera permanente las formas geométricas.

CONSTANTIN BRANCUSI

Reconocido como uno de los escultores más importantes del siglo XX, Brancusi fue uno de los precursores de la escultura moderna. Una de las características únicas de las obras de Brancusi era que, a pesar de ser  esculturas puramente abstractas, siempre estaba presente algún elemento que las remitía al mundo de lo orgánico y lo natural. La mayor aspiración de este escultor era la pureza absoluta la cual buscaba sin descanso en las cualidades plásticas de los materiales que trabajaba.

Erguida en 1938, “La Columna Infinita” fue un monumento en honor a los soldados rumanos caídos en la Primera Guerra Mundial. Es una abstracción de los pilares funerarios en Rumania del Sur.  En los años 50, el gobierno Comunista Rumano trató de tumbarla porque la consideraban demasiado “burguesa”. Afortunadamente nunca se llevó a cabo la demolición. Esta escultura está compuesta de 16 y medio rombos modulares en hierro y tiene una altura de 30 metros aproximadamente.

EDGAR NEGRET

Considerado uno de los escultores colombianos más importantes del siglo XX, Edgar Negret les confiere a sus esculturas ciertas cualidades mecanizadas debido a que generalmente usa materiales poco comunes como tuercas, tornillos, engranajes y láminas metálicas. Fue vastamente influido por Brancusi y Gaudí en cuanto a las formas y las abstracciones, y los colores primarios y explosivos están basados en el arte precolombino, sobre todo el de los Incas. Es un maestro en el manejo del plano, la simetría y el vacío.

Esta escultura, bautizada como “El Sol”, está ubicada en en aereopuerto José María Cordova en Rionegro. Esta escultura hace alusión al intricado mecanismo que componen las máquinas y las construcciones modernas, como los aviones, los carros, los puentes, etc. Este concepto de “mecanismo” ha sido trabajado constantemente por Negret, ya que el también posee un gran interés en la arquitectura y la mecánica moderna. En esta escultura se puede ver claramente el uso del rombo y la simetría.

RAFAEL LEOZ

Este escultor español, aunque poco conocido, se puede considerar como un verdadero “artista/científico” moderno. Comenzó como arquitecto de viviendas de interés social, donde fundó varias teorías y prácticas basadas en el profundo análisis de los sólidos y la geometría de Platón. Basándose en sus extensos estudios cientifícos, Leoz logró canalizar estas teorías en la creación de esculturas abstractas, donde se pueden reconocer con claridad los variados conceptos matemáticos que este trabajaba como científico. Leoz estaba fascinado por los espacios negativos y positivos y su coordinación funcional y estética.

Esta escultura fue bautizada por Leoz como “Estructuración Hiperpoliédrica del Espacio” en 1971. Es una alusión bastante fuerte a la teoría del Teseracto (o hipercubo). Es un enorme cubo hecho de varillas metálicas que se encierran unas a otras a modo de las matrioshkas rusas. Según el propio Loez,  ” es una representación volumétrica, simbólica y compendiada, en la que se estudia una determinada división y ordenación espacial del cubo”. Sin duda alguna, Rafael Loez es un artista-matemático.

Un teseracto es una figura geométrica totalmente hipotética. Incluso puede considerarse utópica, ya que sería una figura donde podrián converger armoniosamente las tres dimensiones conocidas más una cuarta dimensión, que en teoría es el tiempo. También es conocido coom un hipercubo. La representación más sencilla de un teseracto es un cubo pequeño encerrado dentro de uno más grande. Sin embargo, esta representación está errada, ya que los seres humanos sólo podemos percibir tres dimensiones y la cuarta está fuera de nuestro alcance.

El primer científico en investrigar sobre el teseracto fue el matemático inglés Charles Howard Hinton en 1888. Su propósito era investigar una nueva forma de percepción del hiperespacio. A pesar de ser una figura geométrica  imaginaria las bases de esta han sido sumamente útiles en el desarrollo de redes computacionales y en el cyberespacio…

Hace un par de blogs vimos las figuras geométricas planas, como el circulo, el cuadrado, el triángulo y la elipse. Estas figuras se caracterizaban por ser bidimensionales; sólo podían existir en un plano. Pero hay figuras geometricas que van más alla del simple plano, estas son las figuras tridimensionales. La esfera, el cubo, la prisma y el cono son algunas figuras tridimensionales.

La esfera es una version avanzada del círculo. La definición más básica de la esfera es una estructura sólida que mantiene su forma gracias a una superficie curva y regular. Se considera una esfera cuando las distancias entre cualquier punto y el centro de la esfera son equidistantes.

Un cono es una estructura sólida que es formada debido a la revolución de un triangulo rectangular alrededor de uno de los catetos. Con las revoluciones, un cateto crea la base circular, mientras que el punto donde convergen todas las generatrices se llama vértice. Hay tres tipos de cono. 1. El cono recto ocurre cuando la base es equidistante al vértice. 2. El cono oblicuo, cuando el vértice y la base no son equidistantes. 3. El cono elipítico, cuando hay una base elíptica. Dentro de este tipo de cono pueden haber tanto rectos como oblicuos.

El cubo es una versión "engallada" del cuadrado. Ya no tiene solamente cuatro lados, ahora tiene seis, lo cual lo hace una figura tridimensional. También es llamado poliedro.

Al igual que el cubo, la prisma es una versión más avanzada del tríangulo. Tambíen es considerada un políedro, con cuatro caras que los paralelas entre si; las caras iguales son llamadas bases y las laterales son llamadas paralelas. Esta forma ha sido una herramienta muy útil en la investigación y análisis de la Ciencia Óptica.

V = A_b x h

Humor Geométrico:

-¡Mamá, mamá! ¿Por qué estoy andando en círculos?

-¡Cállate Juanito o si no te clavo el otro zapato al piso!

Bueno, ahora si seriedad….

La Geometría nunca ha estado restringida a las matemáticas o demás disciplinas científicas. Hoy en día más que nunca, el arte abstracto depende por completo de las formas geométricas; artistas modernos como Miró, Brancusi, Calder, Mondrian, Picasso, Ramirez-Villamizar o Klee han usado la geometría de alguna u otramanera. Pero esta “geometría al servicio del arte” no es para nada nuevo. Desde tiempos arcaicos, las formas geométricas han jugado un poderoso papel en el arte y las representaciones visuales. Desde el arte primitivo de las cavernas hasta los moais y las estatuas precolombinas, la geometría ha estado siempre presente en ese constante deseo del hombre de crear.

GEOMETRÍA ARTÍSTICA EN LA ÁMERICA PRECOLOMBINA

Los incas, además de excelentes arquitectos, eran unos genios para los textiles. Este poncho demuestra la gran maestría que poseían los tejedores incas para manejar las formas geométricas, la simetría, la repetición y la proporción. Estos diseños geométricos eran llamados tocapus y en un solo poncho, como este, podrían haber hasta 150 diseños, distribuidos proporcionalmente por todo el telar. Se distinguen claramente las formas planas como el tríangulo, el círculo, el rombo, el rectángulo, la espiral y en especial, el cuadrado.

Para los Aztecas, las matemáticas tenían un inmenso valor religioso, que se ve reflejado en esta imponente pieza; la Piedra del Sol. Como para la gran mayoría de las culturas antiguas, el Sol era adorado como una deidad suprema, y por lo tanto debía tener monumentos acordes a su grandeza. Esta Piedra del Sol funcionaba como un computador antidiluviano; con ella se podían calcular los eclipses solares y lunares y llevarse a cabo complicadas observaciones astronómicas y meteorológicas. A grandes rasgos, se puede ver la perfecta simetría y proporcion entre los múltiples elementos. La forma geometrica predominante es el circulo; un gran disco en el centro rodeado por cuatro círculos menores. Al ver más cerca se distinguen otras formas; está el cuadrado, la espiral y el tríangulo. Supestamente cada forma tenía un significado y un propósito su funcionamiento; pero su método de uso se perdió para siempre al llegar los españoles.

LA GEOMETRÍA EN LA OCEANÍA PRIMITIVA

Los Moko eran tatuajes faciales que llevaban los hombres importantes de la antigua tribu de los Maori en Oceanía. La función de estos tatuajes era tanto jerárquica como espirutal, ya que el motivo predominate en cualquier moko era la espiral. Esta simbolizaba el Sol, que era simultaneamente poder y vida. Generalmente los moko eran simétricos, para que su forma fluida y armónica complementara las facciones de quien lo llevaba.

El impresionante detalle de las pinturas rupestres australianas se debe a la profunda conexión que tenía el aborigen con el entorno y con su pasado. Para esta cultura, el periodo de creación cósmica era llamado "Tiempo de Sueño", y fue durante ese tiempo que todo fue creado por los dioses. El circulo es símbolo de el ciclo vital, donde todo nace, muere y se regenera constantemente. La historia de la cultura aborigen es la más vieja del mundo, con 65,000 años de antiguedad.

LA GEOMETRÍA EN LA AFRICA ABORIGEN

La Tribu Baga de Guinea era una tribu nomáda que se dedicaba a la caza, al pastoreo de ganado y a la recolección. Debido a su cultura nomádica, el arte no sólo debía ser estética sino también útil. Los artesanos Baga dominaban por completo la geometría y la simetría, como se ve en esta artesanía. Este butaco probablemente tenía un uso religoso o jerárquico, debido a su fino detalle. Los patrones geométricos son posibles abstracciones de los variadísimos diseños de los pelajes en la fauna africana.

Al igual que los Baga, los Yoruba eran una tribu nomada. Ubicados en Nigeria, los artesanos Yoruba eran famosos por sus intricados diseños en pedreria, como se puede ver en esta mochila hecha de miles de cuentas. Posiblemente esta mochila perteneció a un chamán, debido a la calidad de los materiales utilizados y al detalle empleado en los diseños geométricos.